נולד במרגיטה שבטרנסילבניה, דור שישי לרבי יצחק אייזיק מקאליב. נישא לחנה שרה שפרה טאוב (תרע"ח, 1918 - כ"ד בכסלו התשע"ב, דצמבר 2011), בתו של רבי פנחס שפירא מקעכניא. ב-1939 נפטר אביו, שהיה אדמו"ר בהותירו אחריו 7 יתומים וקהילה ללא מנהיג. לאחר כיבוש הונגריה על ידי הגרמנים ב-1944, מנחם מנדל עם כל אחיו ואחיותיו נשלחו לאושוויץ וכל אחיו נספו שם. הוא שרד אך עבר עינויים קשים, בהם טיפול כימי המונע מזקנו לצמוח.

לאחר השואה עבר לשוודיה, שם התאחד עם אשתו שפרה. לאחר מכן עבר לארצות הברית. ב-1963 הקים את מרכז חסידי קאליב בראשון לציון (קריית קאליב) ובשנת 1980עבר לבני ברק, שם הקים את מרכז חסידות קאליב ברחוב חגי ולאחר מכן ברחוב אהרונוביץ. בשנת ה'תשס"ב חנך בשיכון חב"ד בירושלים בית מדרש חדש ועבר להתגורר על ידו.

האדמו"ר מקאליב הוא אחד מגדולי מנציחי השואה כיום. הוא תיקן אמירת שמע ישראל בסיום כל תפילה לזכר הנספים, וכמו כן מעודד אמירת "שמע ישראל" כזכר לקדושי השואה בסיום עצרות המוניות בציבור הדתי והחרדי. בשנים האחרונות הוא החל במפעל אנציקלופדיה לשואה לציבור החרדי ופועל להקמת מוזיאון לשואה עבור הציבור החרדי, שיהיה מוזיאון משלים ליד ושם, לאחר שלדבריו לא מנציחים מספיק את גבורתם הרוחנית של היהודים שמסרו נפשם לקיים מצוות גם בשנים ההן. הוא חזר שלוש פעמים לגיא ההריגה.

האדמו"ר גם מלחין פורה, ונוהג לשיר בציבור באירועים שונים כולל בחתונות אליהם הוא מוזמן.
מפעל נוסף של האדמו"ר מקאליב הוא תוכנית בשם "בר בי רב דחד יומא" שפעלה בעבר במקומות רבים ברחבי הארץ, במסגרתה היו קובעים מדי תקופה יום עיון ("יום שכולו תורה") ובו רצף של שיעורים ודרשות עבור הציבור הרחב שאין תורתו אומנותו. כמו כן, מדי שנה, לקראת כ"ד באלול, יום פטירתו של רבי ישראל מאיר הכהן מראדין ה"חפץ חיים", הוא יוצא בקריאה לציבור הרחב ולתלמידי מוסדות החינוך לערוך בו תענית דיבור.

באייר ה'תשע"ב, לאחר פטירת אשתו הראשונה, והוא בן 89, התחתן בשנית עם שיינדיל מלניק (נולדה בשנת תש"ט) מוויניצא אוקראינה ואחר מכן מבני ברק.

באפריל 2019, מעד האדמו"ר מקאליב בביתו ומאז מצבו החמיר. בני משפחתו קראו לציבור הרחב להתפלל לרפואתו של רבי מנחם מנדל בן ברכה פרידה.